ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98445
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие:  a + b + c = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число
d = a1999 + b1999 + c1999.
  а) Может ли случиться, что  d = 2?
  б) Может ли случиться, что d – простое число?


Решение 1

  Заметим, что  a1999a = a(a1998 – 1)  делится на  a(a² – 1) = (a – 1)a(a + 1),  а произведение трёх последовательных чисел делится на 6. Поэтому и
d = a1999 + b1999 + c1999 – (a + b + c) = (a1999a) + (b1999b) + (c1999c)  тоже делится на 6.


Решение 2

  б) Чётности сумм  a + b + c  и  a1999 + b1999 + c1999  одинаковы: они составлены из слагаемых одинаковой чётности. Поэтому d чётно. Чётное простое – это 2. Таким образом, пункт б) сводится к пункту а).

  а) Пусть a, b и c чётны. Тогда d делится на 21999 и, значит, не равно 2.
  Пусть два числа (например, a и b) нечётны, а третье чётно. Заметим, что d делится на a (так как  b1999 + c1999  делится на  b + c = – a).  Значит,  |a| = 1.  Аналогично  |b| = 1.  Но d не равно 2 ни в одном из случаев  a = b = 1,  с = –2;  a = b = –1,  с = 2;   a = – b = ±1,  с = 0.


Ответ

Не может.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .