|
|
 |
Условие
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число
d = a1999 + b1999 + c1999.
Может ли случиться, что
а) d = 2?
б) d – простое число?
Решение 1
Заметим, что a1999 – a = a(a1998 – 1) делится на a(a² – 1) = (a – 1)a(a + 1), а произведение трёх последовательных чисел делится на 6. Поэтому и
d = a1999 + b1999 + c1999 – (a + b + c) = (a1999 – a) + (b1999 – b) + (c1999 – c) тоже делится на 6.
Решение 2
б) Чётности сумм a + b + c и a1999 + b1999 + c1999 одинаковы: они составлены из слагаемых одинаковой чётности. Поэтому d чётно. Чётное простое – это 2. Таким образом, пункт б) сводится к пункту а).
а) Пусть a, b и c чётны. Тогда d делится на 21999 и, значит, не равно 2.
Пусть два числа (например, a и b) нечётны, а третье чётно. Заметим, что d делится на a (так как b1999 + c1999 делится на b + c = – a). Значит, |a| = 1. Аналогично |b| = 1. Но d не равно 2 ни в одном из случаев a = b = 1, с = –2; a = b = –1, с = 2; a = – b = ±1, с = 0.
Ответ
Не может.
Замечания
баллы: 2 + 2
