|
|
 |
Условие
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
Решение
Пусть x – одно из этих n чисел, x + b1, x + b2, ..., x + bn–1 – остальные и p = x(x + b1)(x + b2)...(x + bn–1) = x + c, (*)
где, по условию, c нечётно, а b1, b2, ..., bn–1 чётны, поскольку bi = (p – x) – (p – (x + bi)) – разность двух нечётных чисел. Равенство (*) можно записать, раскрыв скобки, в виде xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–2x² + an–1x – c = 0, (**)
где a1, ..., an–2 чётны, а an–1 = b1b2...bn–1 – 1 и c нечётны. Согласно задаче 61013 все рациональные корни этого уравнения – целые. Но целым x быть не может: при целом x левая часть нечётна. Следовательно, число x иррационально.
Замечания
5 баллов
