ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98231
Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Задачи на проценты и отношения ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.


Решение

  Пусть всего ящиков N, а не пусты только первые n ящиков. Тогда среднее количество орехов в непустых ящиках равно 10·N/n.
  Следовательно, согласно неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным (см. задачу 61402 б) средняя величина квадратов чисел орехов в непустых ящиках не меньше  (10·N/n)²,  а средняя величина квадратов чисел орехов во всех ящиках не меньше  n/N·100·(N/n)² = 100·N/n.  По условию это число меньше 1000, значит,  N/n < 10,  что и требовалось.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .