ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98197
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?


Решение

  Оценка. Сумма чисел трёх первых столбцов не меньше суммы первых 15 натуральных чисел, то есть не меньше 120.
  Прибавим ко всем числам первого столбца по двойке, а ко всем числам второго – по единице. При этом числа в каждой строке будут идти в неубывающем порядке, поэтому сумма чисел в третьем столбце будет не меньше, чем в каждом из двух первых, то есть не меньше  (120 + 5 + 10) : 3 = 45.
  Пример расположения чисел, при котором сумма среднего столбца равна 45:

  Аналогичное рассуждение даёт максимальную сумму 85 (рассматривается наибольшая возможная сумма чисел трёх последних столбцов).


Ответ

Наименьшее – 45, наибольшее – 85.

Замечания

1. 5 баллов.

2. Ср. с задачей 73704.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .