|
|
 |
Условие
Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.
Решение
Пусть AB = a, BC = b < a. 4 диагонали образуют квадрат со стороной a, а остальные – квадрат со стороной b < a с тем же центром, но повёрнутый относительно первого на 45°. Восьмиугольника не получится, если второй квадрат лежит внутри первого, то есть В противном случае, как нетрудно вычислить, стороны a1 и b1 полученного восьмиугольника равны соответственно
и
При этом
Аналогично
и так далее. Такое удвоение разности не может продолжаться бесконечно, поэтому процесс остановится.
Замечания
8 баллов
