ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98025
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [x/10] = [x/11] + 1.


Решение 1

Пусть  x = 11n + r,  где  n ≥ 0,  0 ≤ r ≤ 10.  Тогда  [x/11] = n,  n + 1 = [x/10] = n + [n+r/10],  то есть  10 ≤ n + r < 20,  10 – r ≤ n ≤ 19 – r.  Для каждого r от 0 до 10 получаем 10 решений.


Решение 2

Если  x ≥ 220,  то  x/10 ≥ 2 + x/11,  поэтому и целые части чисел x/10 и x/11 отличаются по меньшей мере на 2. Если же  x < 220,  то эти целые части отличаются не больше чем на 2. Заметим, что если   [x/10] = [x/11] + a,   то   [x+110/10] = [x+110/11] + a + 1.   Отсюда следует, что ровно одно число из пары
{x, x + 110}  (x < 110)  является решением нашего уравнения. Таким образом, решений у него ровно  220 : 2 = 110.


Ответ

110 решений.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .