ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97965
Темы:    [ Композиции симметрий ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K.
Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.


Решение

Композиция симметрий относительно прямых AB и CB переводит прямую AK в прямую CK. Эта композиция есть поворот вокруг точки B на угол, равный удвоенному углу между AB и CB, то есть на угол 2∠B. Но поворот на тот же угол (и в том же направлении) вокруг точки O переводит радиус OA в радиус OC. Значит, он также переводит прямую AK в прямую CK. Это значит, что точки B и O равноудалены от прямых AK и CK, причём лежат на одной биссектрисе угла между ними. Следовательно, точки K, B и O лежат на одной прямой.

Замечания

1. 5 баллов.

2. Обсуждение других решений этой задачи см. в решениях Задачника "Кванта".

3. Задача предлагалась также на 54-й Ленинградской олимпиаде (1988, 8 кл., №1).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1988
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М1121
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .