ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97915
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?


Решение

Положим  N = 12.  Каждое натуральное число можно записать в виде  12k + r,  где r – одно из чисел  0, 1, ..., 11.  Все числа, для которых r чётно принадлежат прогрессии  2, 4, 6, ...;  все числа, для которых r кратно 3, – прогрессии  3, 6, 9, ...  Остались числа с  r = 1, 5, 7 и 11.  Они покрываются прогрессиями  4k + 1,  6k + 7  и  12k + 11  (k = 0, 1, ...)  с разностями 4, 6 и 12.

Замечания

1. Другой пример – прогрессии  {1, 3, ...},  {2, 5,...},  {4, 8, ...},  {6, 12, ...},  {10, 22, ...}.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .