Информация о задаче

Задача 87467

Темы:	[	Цилиндр	]
Темы:	[	Пирамида (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Около правильного тетраэдра описан цилиндр так, что два противоположных ребра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найдите отношение объема цилиндра к объему тетраэдра.

Решение

Пусть a - ребро правильного тетраэдра, h - высота тетраэдра, d - расстояние между противоположными ребрами, V₁ - объем тетраэдра, r - радиус основания цилиндра, V₂ - объем цилиндра. Тогда

h = a $\displaystyle \sqrt{2}$ / $\displaystyle \sqrt{3}$ , d = a/ $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

V₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (a² $\displaystyle \sqrt{3}$ /4)^.h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (a² $\displaystyle \sqrt{3}$ /4)^.a $\displaystyle \sqrt{2}$ / $\displaystyle \sqrt{3}$ = a³ $\displaystyle \sqrt{2}$ /12,

V₂ = $\displaystyle \pi$ r²d = $\displaystyle \pi$ ^.(a/2)^{2 .}(a/ $\displaystyle \sqrt{2}$ ) = $\displaystyle \pi$ ^.a³/(4 $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Следовательно,

V₂/V₁ = ( $\displaystyle \pi$ ^.a³/(4 $\displaystyle \sqrt{2}$ ))/(a³ $\displaystyle \sqrt{2}$ /12) = 3 $\displaystyle \pi$ /2.

Ответ

3 $\displaystyle \pi$ /2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7979