Информация о задаче

Задача 87462

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
Темы:	[	Пирамида (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности, если сторона основания пирамиды равна 4, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани равен 30^o.

Решение

Пусть окружность основания конуса, вписанного в данную правильную четырехугольную пирамиду PABCD с вершиной P, касается стороны AB основания ABCD в точке M, O - центр основания. Тогда M - середина AB, PM - апофема пирамиды, MPO - угол между высотой PO пирамиды и плоскостью боковой грани APB. По условию задачи $\angle$ MPO = 30^o. Поэтому

PM = 2^.OM = 2^.AD/2 = 2^.2 = 4.

Если r - радиус основания конуса, l - образующая, S₁ - площадь боковой поверхности конуса, а S₂ - площадь его полной поверхности, то

S₁ = $\displaystyle \pi$ rl = $\displaystyle \pi$ ^.OM^.PM = $\displaystyle \pi$ ^.2^.4 = 8 $\displaystyle \pi$ ,

S₂ = $\displaystyle \pi$ r² + $\displaystyle \pi$ rl = $\displaystyle \pi$ ^.OM² + $\displaystyle \pi$ ^.OM^.PM = 4 $\displaystyle \pi$ + 8 $\displaystyle \pi$ = 12 $\displaystyle \pi$ .

Следовательно, S₂/S₁ = 12 $\pi$ /(8 $\pi$ ) = 3/2.

Ответ

1.5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7974