Задача 87442

Темы:    [ Конус ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Высота конуса равна 20, радиус основания равен 25. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.

Решение

Пусть A – вершина конуса, O – центр основания, BC – хорда, по которой секущая плоскость пересекает основание конуса, M – середина BC , OK – высота треугольника AOM . Так как BC OM и BC AO , то BC – перпендикуляр к плоскости AOM . Поэтому AM BC и OK BC . Таким образом, прямая OK перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и AM плоскости сечения. Значит, OK – перпендикуляр к плоскости сечения. По условию задачи OK = 12 . Обозначим OAM = KOM = α . Тогда

sin α = = = , cos α = ,

AM = = = 25, OM = = = 15.
Из прямоугольного треугольника BOM находим, что
BM = = = = 20.
Следовательно,
S_{Δ ABC} = BC· AM = BM· AM = 20· 25 = 500.

Ответ

500.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7954