ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87332
Темы:    [ Признаки перпендикулярности ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре ABCD известно, что AD BC . Докажите, что высоты тетраэдра, проведённые из вершин B и C , пересекаются, причём точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD и BC .

Ответ

Через прямую BC проведём плоскость, перпендикулярную прямой AD . Это можно сделать, т.к. скрещивающиеся прямые BC и AD перпендикулярны. Пусть N – точка пересечения этой плоскости с прямой AD . Высота BB1 треугольника BCN перпендикулярна пересекающимся прямым AD и CN плоскости грани ADC . Значит, BB1 – высота тетраэдра ABCD . Аналогично, высота CC1 треугольника BCN также является высотой этого тетраэдра. Поскольку высоты треугольника пересекаются, первое утверждение доказано. Пусть K – точка пересечения BB1 и CC1 . Тогда третья высота NN1 треугольника BCN проходит через точку K , а т.к. NN1 лежит в плоскости, перпендикулярной прямой AD , то NN1 – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC и AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7805

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .