Задача 87327

Темы:    [ Сферы (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В шаре проведён диаметр AB и две равные хорды AM и AN , каждая расположена под углом α к диаметру. Найдите угол между хордами, если отрезок MN виден из центра шара под углом β .

Решение

Пусть O – центр сферы, K – середина MN , L – середина AM . Тогда OA = OM = ON = R . Из равнобедренных треугольников MON и AOM находим, что

MK = OM sin MOK = R sin ,

AM = 2AL = 2AO cos MAO = 2R cos α.
Из равнобедренного треугольника MAN находим, что
sin MAK = = = .
Следовательно,
MAN = 2 MAK = 2 arcsin ().

Ответ

2 arcsin () .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7800