Задача 87298

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Правильную четырёхугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды к боковому ребру.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , α – угол между высотой PO и боковым ребром. Тогда искомое отношение высоты пирамиды к её боковому ребру равно cos α . Пусть плоскость сечения проходит через точку A перпендикулярно прямой PC и пересекает рёбра PC , PB и PD в точках M , K и L соответственно. Поскольку прямая DB и секущая плоскость перпендикулярны прямой PC , прямая BD параллельна секущей плоскости. Через прямую BD проведена плоскость BPD , пересекающая секущую плоскость по прямой KL . Значит, KL || BD , а т.к. AM BD (теорема о трёх перпендикулярах), то KL AM . Поэтому площадь четырёхугольника AKML равна половине произведения его диагоналей AM и KL . Пусть отрезки AM и KL пересекаются в точке N . Обозначим сторону квадрата ABCD через a . Так как MAC = OPC = α , а ACM = 90^o - α , то

AM = AC cos α = a cos α,

ON = OA tg α = a tg α, PO = OC ctg α = a ctg α,

PN = PO - ON = a ctg α - a tg α = a( ctg α - tg α),

= = = 1 - tg 2α,

LK = BD(1 - tg 2α) = a(1 - tg 2α),

S_AKML = AM· KL = a cos α · a(1 - tg 2α) =

= a2 cos α (1 - tg 2α).
Тогда
= = cos α(1 - tg 2α).
Применив формулу tg 2α = - 1 , получим уравнение
cos α (2 - ) = ,
или
2 cos α - = , 4 cos 2α - cos α - 2 = 0,
откуда находим, что cos α = (второе решение не удовлетворяет условию задачи). Следовательно,
= cos α = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7769