Задача 87285

Темы:    [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ] [ Апофема пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Решение

Пусть O – центр параллелограмма ABCD , лежащего в основании пирамиды PABCD , PO – высота пирамиды, AB = 18 , BC = 10 . Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках M и K , то по теореме о трёх перпендикулярах PM AD и PK BC . Значит, PM и PK – высоты треугольников ADP и BCP . Поскольку MK – высота параллелограмма ABCD , а O – середина MK , то

90 = S_ABCD = BC· MK = 10MK,
поэтому
MK = 9, OM = OK = ,

PM = PK = = = ,

S_{Δ ADP} = S_{Δ BCP} = BC· PK = · 10· = .
Если прямая, проходящая через точку O перпендикулярно противоположным сторонам AB и CD параллелограмма ABCD , пересекает эти прямые соответственно в точках E и F , то аналогично предыдущему
EF = = = 5, OF = OE = ,

PF = PE = = = ,

S_{Δ CDP} = S_{Δ ABP} = AB· PE = · 18· = .
Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD равна
2S_{Δ ADP} + 2S_{Δ ABP} = 2(S_{Δ ADP} + S_{Δ ABP}) = 2( + ) = 192.

Ответ

192.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7756