ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87235
Темы:    [ Перпендикулярность прямых и плоскостей ]
[ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Решение

Пусть точка M расположена вне плоскости α (рис.1). Из точки M опустим перпендикуляр MA на некоторую прямую a плоскости α . Если MA α , то искомая прямая построена. В противном случае, в плоскости α через точку A проведём прямую b , перпендикулярную прямой a . Через пересекающиеся прямые AM и b проведём плоскость β и в ней опустим перпендикуляр MH из точки M на прямую b . Докажем, что MH α . В самом деле, прямая a перпендикулярна плоскости β , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и AH этой плоскости. Значит, MH a . Таким образом, прямая MH перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и a плоскости α . Следовательно, MH α . Докажем единственность. Предположим, что через точку M проходят две различные прямые, перпендикулярные плоскости α (рис.2). Проведём через них плоскость γ . Пусть плоскости α и γ пересекаются по прямой l . Тогда в плоскости γ из точки M на прямую l опущено два различных перпендикуляра, что невозможно. Следовательно, через точку, не лежащую в плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости. Пусть теперь точка M лежит в плоскости α . Через произвольную точку N , расположенную вне плоскости α , проведём прямую n , перпендикулярную плоскости α (см. предыдущее построение), а через точку M проведём прямую m , параллельную прямой n . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая – также перпендикулярна этой плоскости. Значит, m α . Доказательство единственности аналогично соответствующему доказательству для случая, когда точка M расположена вне плоскости α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7706

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .