Задача 87229

Темы:    [ Признаки перпендикулярности ] [ Перпендикулярность прямых и плоскостей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Решение

Определение.}Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Пусть прямая h перпендикулярна пересекающимся прямым a и b плоскости α . Докажем, что прямая h перпендикулярна произвольной прямой c этой плоскости, непараллельной прямым a и b . Через точку A пересечения прямой h с плоскостью α проведём прямые AB , AC и AD , соответственно параллельные прямым a , b и c . Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC . На прямой h отложим по разные стороны от плоскости α равные отрезки AM и AN . Прямоугольные треугольники MAC и NAC равны по двум катетам. Аналогично, равны прямоугольные треугольники MAB и NAB . Значит, треугольники BMC и BNC равны по трём сторонам. Следовательно, MCB = NCB . Тогда треугольники MCD и NCD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MD = ND , а т.к. в равнобедренном треугольнике MDN медиана DA является высотой, то MA AD . Значит, h AD , а т.к. AD || c , то h c . Таким образом, прямая h перпендикулярна каждой прямой плоскости α . Следовательно, прямая h перпендикулярна плоскости α .

Пусть прямая h перпендикулярна пересекающимся прямым a и b плоскости α . Докажем, что прямая h перпендикулярна произвольной прямой c этой плоскости, непараллельной прямым a и b . Выберем на прямых h , a , b и c ненулевые векторы , , и соответственно. Поскольку прямые a и b – пересекающиеся, векторы и не коллинеарны. Поэтому существует единственная пара чисел x и y , для которой = x + y . Тогда для скалярного произведения векторов и верно равенство

· = · (x + y) = · (x) + · (y) =

= x(· ) + y(· ) = x· 0 + y· 0 = 0.
Следовательно, h c . Таким образом, прямая h перпендикулярна каждой прямой плоскости α . Следовательно, прямая h перпендикулярна плоскости α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7700