Задача 87181

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Метод координат в пространстве ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояния между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра со стороной a .

Решение

Пусть K и M – середины рёбер соответственно BC и AB правильного тетраэдра ABCD со стороной a , P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину A параллелльно BC , Q – центр треугольника ABC (рис.1). Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость, проходящую через прямую AP перпендикулярно AK . Пусть L и P – ортогональные проекции точек соответственно D и M на эту плоскость. Плоскость ϕ , проходящая через прямые DM и PM , параллельна прямой AK , т.к. она содержит прямую PM , параллельную AK . Значит, расстояние между прямыми AK и DM равно расстоянию от произвольной точки прямой AK (например, от точки A ) до плоскости ϕ . Опустим пепендикуляр AF из вершины A на прямую PL . Поскольку AF PL и AF PM , длина отрезка AF равна расстоянию от точки A до проведённой плоскости. Далее имеем:

AP = BK = a, AL = DQ = a,

PL = = = .
Следовательно,
AF = = = a.
Аналогично найдём расстояние между прямыми AK и BE , где E – середина ребра AD . Пусть G и H – ортогональные проекции точек соответственно E и B на плоскость, проходящую через прямую AC перпендикулярно AK . Тогда расстояние между прямыми BE и AK равно перпендикуляру AN , опущенному из вершины A на GH . Далее имеем:
AG = DQ = a, AH = BK = a,

GH = = = .
Следовательно,
AN = = = .


Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A . Ось x направим по лучу AK (рис.2). Пусть P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину A параллелльно BC . Тогда ось y направим по лучу AP . Через точку A проведём прямую, параллельную высоте DQ тетраэдра. Пусть L – проекция точки D на эту прямую. Тогда ось z направим по лучу AL . Тогда интересующие нас точки имеют следующие координаты:
A(0;0;0), K(;0;0), D(;0;a), M(;;0),

B(;;0), E(;0;a).
Найдём расстояние между прямыми AK и DM . Заметим, что прямая MP параллельна AK и через пересекающиеся прямые MP и DM проведём плоскость. Поскольку LD || MP , точка L лежит в этой плосктсти. Уравнение плоскости имеет вид + =1 , или + =1 (уравнение плоскости в отрезках). Поскольку плоскость параллельна оси x , в её уравнении x отсутствует. Прямая AK параллельна этой плоскости, поэтому расстояние между прямыми AK и DM равно расстоянию до этой плоскости от точки A , т.е. расстоянию ρ от точки A(0;0;0) до плоскости + =1 :
ρ = || = a.
Найдём расстояние между прямыми AK и BE . Пусть H – проекция точки B на ось y (рис.1). Тогда плоскость, проходящая через точку E и прямую BH , параллельна прямой AK . Пусть G – проекция точки E на ось z . Тогда EG || BH , поэтому точка G лежит в проведённой плоскости. Уравнение этой плоскости имеет вид + =1 , или + =1 . Расстояние между прямыми AK и BE равно расстоянию до этой плоскости от точки A , т.е. расстоянию ρ1 от точки A(0;0;0) до плоскости + =1 :
ρ1 = || = a.


Найдём угол α между прямыми DM и AK . Для этого через точку Q проведём прямую, параллельную DM (рис.3). Пусть эта прямая пересекает ребро CD в точке S . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QS и AK . Из подобия треугольников QSC и MDC находим, что
QS = MD· = · = .
Кроме того, CS= CD =a . Из треугольника CKS по теореме косинусов находим, что
SK2 = CK2+CS2-2CK· CS cos 60^o = +a2-2· · a· = a2.
Значит,
cos α = | cos KQS| = || = || =.
Тогда sin α = . Пусть ρ – расстояние между прямыми DM и AK , V – объём тетраэдра ABCD , v – объём тетраэдра AKMD . Тогда
V = v=AK · MD · ρ sin α.
Отсюда находим, что
ρ = = = a.
Найдём угол β между прямыми BE и AK (рис.4). Для этого через точку Q проведём прямую, параллельную BE . Эта прямая пересекает ребро среднюю линию ER треугольника ADC в точке T . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QT и AK . Из подобия треугольников QTR и BER находим, что
QT = BE· = · = .
Кроме того, если точка J делит ребро CD в отношении = , то AT= AJ . Из треугольника ACJ по теореме косинусов находим, что
AJ2 = AC2+CJ2-2AC· CJ cos 60^o = a2+a2-2a· a· = a2.
Поэтому AT2= AJ2 = a2 . Тогда из треугольника AQT по теореме косинусов находим, что
cos β = | cos AQT| = || = || =.
Значит, sin β = . Пусть ρ1 – расстояние между прямыми BE и AK , V – объём тетраэдра ABCD , v1 – объём тетраэдра AKBE . Тогда
V = v=AK · BE · ρ1 sin β.
Отсюда находим, что
ρ1 = = = a.

Ответ

, a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7570