Задача 86990

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две грани треугольной пирамиды – равносторонние треугольники со стороной a . Две другие грани – равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.

Решение

Пусть ABC и ABD – равносторонние треугольники со стороной a , а BCD и ACD – равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой CD . Тогда CD = a . Боковые ребра AB , AC и AD треугольной пирамиды ABCD с онованием BCD равны, поэтому её высота AH проходит через центр окружности, описанной около треугольника BCD , т.е. H – середина гипотенузы CD этого реугольника. Тогда

AH = CD = ,

V_ABCD = S_{Δ BCD}· AH = · a· a· = .
Пусть r – радиус шара, вписанного в данную пирамиду, S – полная поверхность пирамиды. Тогда
S = 2S_{Δ ABC} + 2S_{Δ BCD} = a2 + = (2 + ).
Следовательно,
r = = = = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7187