ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86122
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
[ Признаки делимости на 11 ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.


Решение

  Обозначим через a первое натуральное число, а через b и c записанные за ним двузначные числа. Пусть  x = a + b + c.  По условию
104a + 100b + c = x³.
  Если  x ≥ 100,  то  x³ ≥ 104x = 104(a + b + c) > 104a + 100b + c,  то есть уравнение не имеет решений.
  Следовательно, x – двузначное число, a – либо однозначное, либо двузначное число, а x³ – пяти- либо шестизначное число. Кроме того,  x ≥ 22 
(21³ = 9261  – четырёхзначное число).
  Заметим, что число  x³ − x = 9999a + 99b  делится на 99. Так как  x³ − x = x(x − 1) (x + 1),  то среди чисел  x − 1,  x,  x + 1  какое-то делится на 9 и какое-то на 11. Поскольку  22 ≤ x ≤ 99,  возможны следующие случаи:
  1)  x = 44  (x + 1 = 45),  44³ = 85184,  8 + 51 + 84 > 44;
  2)  x = 45  (x − 1 = 44),  45³ = 91125,  a = 9,  b = 11,  c = 25;
  3)  x = 54  (x + 1 = 45),  54³ = 157464,  15 + 74 + 64 > 54;
  4)  x = 55,  (x − 1 = 54),  55³ = 166375,  16 + 63 + 75 > 55;
  5)  x = 89,  (x − 1 = 88,  x + 1 = 90),  89³ = 704969,  70 + 49 + 69 > 89;
  6)  x = 98,  (x + 1 = 99),  98³ = 941192,  94 + 11 + 92 > 98;
  7)  x = 99,  x³ = 970299,  2 – не двузначное число.


Ответ

9, 11, 25.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 11, вариант А
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 11, вариант Б
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .