ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86113
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.


Решение

Пусть отмечены точки  A(a, f(a))  и  B(b, f(b)).  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562)  f(b) – f(a) = k(b – a),  где число k целое. Квадрат расстояния между точками A и B равен  (b – a)² + (f(b) – f(a))² = (b – a)²(1 + k²).  По условию это – полный квадрат. Но тогда и
1 + k²  – полный квадрат, что возможно только при  k = 0.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 10
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .