ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86110
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  n – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.


Решение

  Так как у Сени и Жени получились одинаковые числа, каждая из цифр 1, 2, ..., 9 входит в Сенино и Женино числа одно и то же число раз. Число появлений каждой из цифр на окружности постоянно, поэтому цифра, не выписанная Сеней, совпадает с цифрой, не выписанной Женей.
  Предположим, что между теми точками на окружности, с которых Сеня и Женя соответственно начинали выписывать свои числа, расположена  k − 1  цифра (если считать по часовой стрелке). Тогда из условия и сказанного выше следует, что поворот окружности на k цифр по часовой стрелке совмещает каждую цифру с равной ей.
  Пусть m – наименьшее ненулевое количество цифр, на которое можно повернуть по часовой стрелке окружность так, чтобы каждая цифр совместилась с равной ей.
  Разделим n на m с остатком:  n = mq + r.  Тогда легко видеть, что поворот на r цифр по часовой стрелке тоже переводит каждую цифру в равную ей. Так как  r < m,  то из условия минимальности m следует, что  r = 0.  Значит, n делится на m.
  Теперь можно разрезать окружность на дуги, содержащие по m цифр, причём записанные на дугах цифры будут образовывать одинаковые числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 68
Год 2005
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .