Задача 86109

Темы:    [ Разные задачи на разрезания ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 20 000 и BC = 1/10 000. Его площадь равна 1. Предположим, что его можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда сторона этого квадрата должна быть равна 1. Разобьём катет AC длины 20 000 на 1000 равных отрезков точками A = A₀, A₁, …, A₉₉₉, A₁₀₀₀ = C. Поскольку частей 1000, а точек 1001, какие-нибудь две из этих точек попадут в одну часть. Эта часть не может поместиться в квадрат, поскольку расстояние между любыми двумя из точек A₀, …, A₁₀₀₀ не меньше 20, а расстояние между любыми двумя точками квадрата не превосходит √2. Полученное противоречие доказывает, что рассматриваемый треугольник невозможно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат.

Ответ

Нет, не верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	9
задача
Номер	4