ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79622
Темы:    [ Раскраски ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?


Решение

  Пусть M – многогранник, рёбра которого покрашены требуемым образом. Если i-м  (i = 1, 2)  цветом покрашено ni рёбер, то суммарное (по всем граням) число сторон этого цвета равно 2ni (каждое ребро служит стороной ровно двум граням). А так как у каждой грани сторон разных цветов поровну, то   2n1 = 2n2,  то есть  n1 = n2,  и общее число рёбер   n1 + n2  чётно.
  На рисунке показан девятигранник, имеющий 19 рёбер и ограниченный одной шестиугольной и восемью четырёхугольными гранями. Согласно вышедоказанному раскрасить его рёбра нужным образом нельзя.


Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1992
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М1365
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 55
Год 1992
вариант
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .