|
|
 |
Условие
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?Решение
Докажем сначала, что в наборе не может быть меньше одиннадцати гирь. Предположим, что это не так, то есть их не более десяти. Пусть 60m — общая масса всех гирь в наборе. Заметим сначала, что в наборе не может быть гирь массой больше 10m (так как набор можно разделить на шесть кучек массой 10m каждая). Следовательно, в каждой из пяти кучек массой 12m не менее двух гирь. Следовательно, всего гирь не менее десяти. Значит, их ровно десять, а каждая из пяти кучек массы 12m состоит ровно из двух гирь. Когда мы раскладываем эти десять гирь на шесть кучек, в каких-то двух из них будет по одной гире. Следовательно, у нас не менее двух гирь массой 10m. А значит, не менее двух гирь массой 2m (гири, которые лежат в тех же кучках массой 12m, что и гири массой 10m). Очевидно, не может быть четыре гири массой 10m.Пусть гирь массой 10m три. Тогда гирь массой 2m не меньше трех. Оставшиеся четыре гири в сумме дают массу 24m. В трех кучках массой 15m лежит по гири 10m, и должно лежать по одной из оставшихся четырех (так как из гирь 10m и 2m нельзя составить 15m). Значит, из этих четырех три имеют массу не более 5m, поэтому последняя имеет массу не менее 24m − 15m = 9m. Значит она имеет массу ровно 9m, иначе есть 4 гири массой 10m Есть кучка 10m, где лежат гири 9m и 1m. Оставшиеся две будут иметь в сумме массу 14m, но каждая из них весит не более 5m. Противоречие.
Пусть гирь массой 10m — две штуки. Значит, четыре кучки массой 10m содержат ровно по две гири. Есть две гири массой 2m (составляющие с гирями 10m кучки 12m). Значит, есть две гири массой 8m (составляющие с гирями 2m кучки 10m). Далее, есть две гири массой 4m (составляющие с гирями 8m кучки 12m), и есть две гири массой 6m. Получили, что все гири имеют массу 2km. Но из них нельзя составить ни одной кучки 15m. Противоречие.
Осталось доказать, что существует набор из одиннадцати гирь. Подходит, например, набор из гирь массой 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 10 грамм. Проверку того, что этот набор можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы, мы оставляем читателю в качестве упражнения.
