|
|
 |
Условие
Пусть x и y – натуральные числа. Рассмотрим функцию f(x, y) = ½ (x + y – 1)(x + y – 2) + y. Докажите, что множеством значений этой функции являются все натуральные числа, причём для любого натурального i = f(x, y) числа x и y определяются однозначно.
Решение
Докажем сначала, что любое натуральное число n представимо в виде f(x, y). Пусть s – наибольшее натуральное число, при котором ½ s(s − 1) < n. Положим y = n − ½ s(s − 1), x = s − y + 1. Так как s(s − 1) чётно, то числа x, y – целые. Так как n > ½ s(s – 1), то y > 0. Допустим, x ≤ 0, то есть
s − y + 1 ≤ 0. Тогда s − y < 0, s < y, s + ½ s(s − 1) < n, ½ (s + 1)((s + 1) − 1) = s + ½ s(s − 1) < n, что противоречит выбору числа s.
Единственность представления следует из того, что
½ (x + y – 1)(x + y – 2) < f(x, y) ≤ ½ (x + y)(x + y – 1). Эти неравенства показывают, что число
s = x + y − 1 определено однозначно.
Замечания
После замены u = y – 2, v = x задача превращается в аналог задачи 73613.
