Задача 79529

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Над строкой из четырёх чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и т.д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.

Решение

Посмотрим, как изменяется сумма чисел строки после одной операции. Пусть a₁, a₂,..., a_n — строка, к которой применяется операция. Тогда новая строка имеет вид a₁, a₂ − a₁, a₂, a₃ − a₂,..., a_n−1, a_n − a_n−1, a_n. Сумма чисел новой строки равна a₁ + ... + a_n + (a₂ − a₁) + (a₃ − a₂) + ... + (a_n − a_n−1) = s + a_n − a₁, где s — сумма чисел исходной строки. Заметим теперь, что для любой строки, полученной из строки 1, 9, 8, 8 описанной в условии задачи операцией, a_n = 8, a₁ = 1. Следовательно, после каждой такой операции сумма чисел увеличивается на семь. Сумма чисел исходной строки равно 26. Следовательно, сумма чисел строки, которая получится после ста таких операций, равна 26 + 7 · 100 = 726.

Ответ

726

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	51
Год	1988
вариант
Класс	8
задача
Номер	1