Задача 79508

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Пусть AB — основание трапеции ABCD. Доказать, что если AC + BC = AD + BD, то трапеция ABCD — равнобокая.

Решение

Пусть точка D₁ симметрична точке D относительно серединного перпендикуляра к основанию AB. Требуется доказать, что точка D₁ совпадает с C. Предположим, что D₁ ≠ C. Пусть, например, точка O₁ лежит между C и D (остальные случаи рассмативаются аналогично). Рассмотрим точку B₁, симметричную точке B относительно прямой CD. Точка D₁ лежит внутри треугольника ACB₁, поэтому AD₁ + B₁D₁ < AC + CB₁. Действительно, пусть луч AD₁ пересекает сторону CB₁ в точке D₂. Тогда AD₁ + D₁D₂ < AC + CD₂ и B₁D₁ < D₁D₂ + D₂B₁. Сложив эти неравенства, получим требуемое. Ясно, что AD₁ + B₁D₁ = BD + AD и AC + CB₁ = AC + CB, поэтому AD + BD < AC + CB. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	50
Год	1987
вариант
Класс	7
задача
Номер	4