Информация о задаче

Задача 79504

Тема:

[

Возрастание и убывание. Исследование функций

]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите минимум по всем α, β максимума функции

y(x) = |cos x + α cos 2x + β cos 3x|.

Решение

Ответ: $\min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$ $\max\limits_{x}^{}$ y(x) = ${\frac{\sqrt3}{2}}$ и достигается при α = 0, β = − ${\frac{1}{6}}$ .
При всех α и β справедливо неравенство

$\displaystyle \max\limits_{x}^{}$ y(х) ≥ max(у( $\displaystyle {\frac{\pi}{6}}$ ); y( $\displaystyle {\frac{5\pi}{6}}$ )) = max(| $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ |; |− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ |) ≥ $$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}$ (| $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ | + |− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ |) ≥ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ |( $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ) − (− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ )| = $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ ,

поэтому $\min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$ $\max\limits_{x}^{}$ y(x) ≥ ${\frac{\sqrt3}{2}}$ . Положим теперь f (x) = cos x − ${\frac{1}{6}}$ cos 3x и найдём точки экстремума этой функции из уравнения f'(х) = 0: f'(х) = − sin x + ${\frac{1}{2}}$ sin 3x = 0, −2 sin x + (3 sin x − 4 sin³x) = 0, откуда либо sin x = 0, x = kπ, либо sin²x = ${\frac{1}{4}}$ , x = ± ${\frac{\pi}{6}}$ + kπ. Для функции y(x) = |f (x)| имеем: y(kπ) = ${\frac{5}{6}}$ < ${\frac{\sqrt3}{2}}$ , y(± ${\frac{\pi}{6}}$ + kπ) = ${\frac{\sqrt3}{2}}$ . Отсюда вытекает, что $\max\limits_{x}^{}$ f(x) = ${\frac{\sqrt3}{2}}$ и поэтому $\min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$ $\max\limits_{x}^{}$ y(x) ≤ ${\frac{\sqrt3}{2}}$ . (Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	10
задача
Номер	5