Задача 79491

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.

Решение

  Пусть  x² − y² = n,  где n – заданное натуральное число. Поскольку  x² − y² = (x − y)(x + y),  а числа  x − y  и  x + y  имеют одинаковую чётность, то n либо делится на 4, либо имеет вид  4k ± 1.
  Докажем, что все числа n вида 4k и  4k±1,  кроме чисел 1 и 4, представимы в виде  x² − y².  Действительно, если  n = 4k,  то достаточно взять  x = k + 1,  y = k − 1  (исключение составляет  n = 4,  так как при этом  y = 0  – не натуральное число); если же  n =  2l + 1,  то достаточно взять  x = l + 1,  y = l  (исключение составляет  n = 1,  так как тогда  y = 0).

Ответ

1, 4 и все числа вида  4k + 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	8
задача
Номер	2