|
|
 |
Условие
В клетках шахматной доски размером n×n расставлены числа: на пересечении k-й строки и m-го столбца стоит число akm. При любой расстановке на этой доске n ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел x1, x2, ..., xn и y1, ..., yn, что при всех k и m выполняется равенство akm = xk + ym.
Решение
Рассмотрим клетки (1, 1) и (k, m). Существует расстановка n ладей на всей доске, при которой в этих клетках стоят ладьи. После этого заменим пару ладей в клетках (1, 1) и (k, m) на пару ладей в клетках (k, 1) и (1, m). Расположение ладей при этом останется "правильным". Следовательно,
a11 + akm = ak1 + a1m, откуда akm = ak1 + a1m – a11. Заметим, что это равенство выполнено и в случаях, когда k или m равно 1. Положим теперь
xk = ak1 – a11, ym = a1m.
