Задача 78693

Темы:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Правильные многоугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Имеется 1000 деревянных правильных 100-угольников, прибитых к полу. Всю эту систему мы обтягиваем верёвкой. Натянутая верёвка будет ограничивать некоторый многоугольник. Доказать, что у него более 99 вершин.

Решение

Докажем, что если верёвка натянута на несколько правильных n-угольников, то она ограничивает многоугольник, у которого не менее n вершин. Пусть выпуклая оболочка вершин данных n-угольников является m-угольником и  φ₁, ..., φ_m  – его углы. Так как каждый угол выпуклой оболочки содержит угол правильного n-угольника, то  φ_i ≥ (1 − ²/_n)π  (справа стоит величина угла правильного n-угольника). Поэтому  (m – 2)π = φ₁ + ... + φ_m ≥ m(1 − ²/_n)π.  Следовательно,  ^2m/_n ≥ 2,  то есть  m ≥ n.

Замечания

См. также задачи 78694, 78701.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	5