Задача 78692

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

Решение

Разность двух натуральных чисел, оканчивающихся четырьмя одинаковыми цифрами, делится на  10⁴ = 5⁴·2⁴.  Поэтому остаток от деления на 2⁴ полностью определяется четырьмя последними цифрами. Последние цифры степени двойки не могут быть нулями, а числа 2222, 4444, 6666, 8888 на 16 не делятся.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	4
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	029
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4