ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78582
Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Неравенство Коши ]
[ Построения в пространстве (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана плоскость P и две точки A и B по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из P наименьший круг.


Решение

Рассмотрим произвольную сферу, проходящую через точки A и B. Проведём через точку M пересечения отрезка AB и плоскости P диаметр CD окружности, являющейся пересечением данной сферы с плоскостью P. По свойству хорд  MC·MD = MA·MB.  Поэтому произведение чисел MC и MD не зависит от выбора сферы. Минимум суммы двух чисел при фиксированном произведении достигается в случае, когда они равны, то есть  MC = MD = .


Ответ

Центр искомой сферы находится в точке M пересечения отрезка AB и плоскости P, а её радиус равен  .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 11
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .