Задача 78527

Темы:    [ Разные задачи на разрезания ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

Решение

Ответ: на 5. Если из куба ABCDA'B'C'D' вырезать тетраэдр A'BC'D, то оставшаяся часть куба распадается на 4 тетраэдра, т.е. куб можно разрезать на 5 тетраэдров. Докажем, что на меньшее число тетраэдров куб разрезать нельзя. Грань ABCD не может быть гранью тетраэдра, на которые разбит куб, потому что к ней прилегает по крайней мере два тетраэдра. Рассмотрим все тетраэдры, прилегающие к грани ABCD. Их высоты, опущенные на эту грань, не превосходят a, где a — ребро куба, а сумма площадей их граней, лежащих на ABCD, равна a². Поэтому сумма их объёмов не превосходит a³/3. Так как грани одного тетраэдра не могут располагаться на противоположных гранях куба, к граням ABCD и A'B'C'D' прилегает по крайней мере 4 тетраэдра, причём сумма их объёмов не превосходит 2a³/3 < a³. Следовательно, есть ещё один тетраэдр разбиения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	10,11
Тур	1
задача
Номер	5