Задача 78524

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Решение

Пусть O – точка пересечения диагоналей AC и BD. Для определённости будем считать, что  α = ∠AOB < 90°  (если  α = 90°,  то четырёхугольник MNPQ вырождается в точку). Тогда  OM = OA cos α,  ON = OB cos α,  OP = OC cos α  и   OQ = OD cos α.  Поэтому при симметрии относительно биссектрисы угла AOB четырёхугольник MNPQ переходит в четырёхугольник, гомотетичный четырёхугольнику ABCD с коэффициентом cos α.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5