Задача 78520

Темы:    [ Системы показательных уравнений и неравенств ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Решить в положительных числах систему:

Решение

Заметим сначала, что если одна из неизвестных равна единице, то остальные тоже равны единице. Действительно, пусть x = 1. Тогда z = 1^y = 1, y = z^x = 1¹ = 1. Предположим, что существует ещё какое-нибудь решение кроме (1, 1, 1). Пусть сначала x > 1. Тогда z = x^y > 1, y = z^x > 1. Следовательно, z = x^y > x¹ = x, y = z^x > z¹ = z, x = y^z > y¹ = y, что невозможно. Значит, этот случай невозможен. Случай x < 1 получается из случая x > 1 заменой всех знаков ``> '' на знаки ``<''.

Ответ

x = y = z = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	1