Условие
Даны
n комплексных чисел
C1,
C2,...,
Cn, таких, что если их
представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого
n-угольника. Доказать, что если комплексное число
z обладает тем свойством,
что
то точка плоскости, соответствующая
z, лежит внутри этого
n-угольника.
Решение
Предположим, что точка
z лежит вне рассматриваемого многоугольника
C1...
Cn. Тогда через точку
z можно провести прямую, не пересекающую
многоугольник
C1...
Cn. Поэтому векторы
z -
C1, ...,
z -
Cn лежат
в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной
полуплоскости лежат и векторы

, ...,

,
поскольку

=

. Поэтому
Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования