Версия для печати
Убрать все задачи

---

На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?

   Решение

---

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

Темы:    [ Комплексные числа в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Решение

Предположим, что точка z лежит вне рассматриваемого многоугольника C₁...C_n. Тогда через точку z можно провести прямую, не пересекающую многоугольник C₁...C_n. Поэтому векторы z - C₁, ..., z - C_n лежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной полуплоскости лежат и векторы , ..., , поскольку = . Поэтому

Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования