ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78179
Темы:    [ Окружности (построения) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

Решение

Покажем сначала, что общие хорды окружности O и каждой из окружностей, проходящих через точки A и В, пересекаются в одной точке. Для этого проведём через точки A и В любую окружность O1, пересекающую данную окружность O в точках M1 и N1, и обозначим через Р точку пересечения прямых M1N1 и AB. Проведём теперь через точку P секущую M2N2 к окружности O и построим окружность O2, проходящую через точки M2, N2, A. По известной теореме,

PM2 . PN2 = PA . PB'  (в окружности O2), (68)
PM2 . PN2 = PM1 . PN1  (в окружности O), (69)
PM1 . PN1 = PA . PB  (в окружности O1), (70)

где В' — точка пересечения прямой AB с окружностью O2. Отсюда PA . PB' = PA . PB, т. е. PB' = PB, и потому точки В и В' совпадают. Ясно, что таким способом может быть построена любая окружность, проходящая через точки A и В и пересекающая окружность O. В самом деле, кроме знания точек A и В, для определения окружности необходимо и достаточно задания ещё одной точки. Пусть это будет одна из точек пересечения искомой окружности с окружностью O. По этой точке M мы построим секущую PMN и через точки M, N и A проведём окружность. Как было показано, она непременно пройдёт и через точку В. Итак, мы показали, что любая окружность, проходящая через точки A и В и пересекающаяся с окружностью O, имеет с O общую секущую, проходящую через фиксированную точку Р, которую можно построить (с помощью любой такой окружности). Заметим теперь, что в данной окружности все хорды данной длины лежат на одном расстоянии от центра и, значит, касаются некоторой окружности, которую также можно построить с помощью любой такой хорды. Построение, завершающее решение задачи, теперь очевидно: нужно из точки Р провести касательную к вспомогательной окружности и по этой касательной построить искомую окружность, как было описано выше. Заметим, наконец, что в том случае, когда перпендикуляр, проведённый через середину отрезка AB, проходит через центр окружности O, общие хорды данной окружности и каждой из окружностей, проходящих через точки A и В, уже не будут пересекаться в одной точке, но будут все параллельны прямой AB. В этом случае завершающее построение состоит в проведении прямой, параллельной данной прямой AB и касающейся вспомогательной окружности, и в последующем построении искомой окружности по этой касательной. (Решение из книги [#!Leman!#].)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .