ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78158
Темы:    [ Покрытия ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Обозначим через a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника M, через b — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник M. Какое число больше: a или b?

Решение

Рассмотрим n непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых принадлежат многоугольнику M. Заменим каждый круг концентрическим с ним кругом радиуса 1. Если полученные таким образом круги не покрывают какую-либо точку A многоугольника M, то эта точка будет удалена от центров всех кругов не меньше чем на 1; поэтому круг диаметра 1 с центром A не пересекается ни с одним из первоначальных кругов диаметра 1, и его можно прибавить к этим кругам, что, однако, противоречит определению числа n. Поэтому n рассматриваемых кругов радиуса 1 полностью покрывают многоугольник. А так как m — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть многоугольник M, то m$ \le$n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .