Задача 78152
|
|
 |
Условие
Доказать, что если целое n > 2, то (n!)² > nn.
Подсказка
Разложите (n!)² на n множителей, каждый из которых не меньше n.
Решение
(n!)² = (1·2·...·(n – 1)·n)·(n·(n – 1)·...·2·1) = (1·n)·(2·(n – 1))·...·(n·1). Каждый из сомножителей имеет вид k(n + 1 – k) для некоторого k от 1 до n. Но
k(n + 1 – k) = n + (k – 1)(n – k) ≥ n, причём равенство достигается только при k = 1 или k = n.
