|
|
 |
Условие
На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.
Решение
В силу симметрии правильного 100-угольника каждое число встречается в наборах на 13-м месте одинаковое количество раз, а значит, количество наборов кратно 100. Если непрерывно поворачивать правильный 100-угольник против часовой стрелки вокруг его центра, то, во-первых, все наборы встретятся, а во-вторых, смена наборов если и будет происходить, то только тогда, когда одна из диагоналей или сторон 100-угольника будет параллельна краю стола. Всего различных направлений сторон у правильного 100-угольника 50. Каждая диагональ параллельна либо стороне, либо диагонали, соединяющей вершины многоугольника, идущие через одну, – таких различных направлений еще 50. За полный оборот 100-угольника смена наборов происходит не более двух раз по каждому направлению, а значит, всего не более 200 раз. Теперь заметим, что число 1 встречается на первом месте как минимум в двух наборах (когда на втором месте стоит 2 и когда на втором месте стоит 100), а количество наборов кратно 100, значит, всего различных наборов ровно 200. Следовательно, сумма чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева, равна 2·(1 + 2 + ... + 100) = 10100.
Ответ
10100.
