Задача 78131

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

В круге проведены два диаметра AB и CD. Доказать, что если M — произвольная точка окружности, а P и Q — её проекции на диаметры AB и CD, то длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M.

Решение

Обозначим центр окружности через O. Точки P и Q лежат на окружности с диаметром OM, т. е. точки O, P, Q и M лежат на окружности постоянного радиуса R/2. При этом либо  POQ = AOD, либо  POQ = BOD = 180^o - AOD, т. е. длина хорды PQ постоянна.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	2