ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78120
Темы:    [ Площадь многоугольника ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Композиция параллельных переносов ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.

Решение

Поступательное перемещение прямоугольника можно представить в виде композиции перемещения вдоль одной стороны и перемещения вдоль другой стороны. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда прямоугольник перемещается вдоль одной из сторон (рис.).

Ясно, что $S_{AB_2CD_2}-S_{AB_1CD_1}=S_{CB_1B_2}+S_{CD_1D_2}-S_{AB_1B_2}-S_{AD_1D_2}$ Отрезки $B_1B_2$ и $D_1D_2$ равны, поэтому $S_{AB_1B_2}+S_{AD_1D_2}=\frac{1}{2}ab$, где $a=B_1B_2=D_1D_2$ и $b$ — сторона прямоугольника. Аналогично $S_{CB_1B_2}+S_{CD_1D_2}=\frac{1}{2}ab$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .