Задача 78102

Темы:    [ Смешанные уравнения и системы уравнений ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Решить уравнение  x³ – [x] = 3.

Решение

  Пусть  [x] = n  и  x = n + α, где  0 ≤ α < 1.  Тогда  x³ – x + α = 3,  и из ограничений на α следует, что  2 < x³ – x ≤ 3.
  Если  x ≥ 2,  то  x(x² – 1) ≥ 2·3 = 6,  поэтому неравенство  x³ – x ≤ 3  не выполняется. Если  x < –1,  то  x(x² – 1) < 0,  поэтому неравенство  2 < x³ – x  не выполняется.
  Таким образом,  –1 ≤ x < 2,  то есть  [x] = –1, 0  или 1. Соответственно получаем уравнения  x³ + 1 = 3,  x³ = 3,  x³ – 1 = 3.  Их решения:
x = ,  x = ,  x = .  При этом  [] ≠ –1,  [] ≠ 0,  а  [] = 1.

Ответ

x = .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2