Задача 78086

Темы:    [ Куб ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?

Решение

Ответ: да, можно. Разрежем данный куб на 13³ = 2197 кубиков с ребром 1. Если бы внутри каждого из этих кубиков была выбранная точка, то количество выбранных точек было бы не меньше 2197, что противоречит условию. Следовательно, внутри по крайней мере одного из этих кубиков не лежит ни одной выбранной точки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2