Задача 78075
|
|
 |
Условие
Докажите, что система уравнений
x1 – x2 = a, x3 – x4 = b, x1 + x2 + x3 + x4 = 1
имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1.
Решение
Если a ≥ 0, то запишем первое уравнение в виде x1 = x2 + a, а если a < 0, то запишем его в виде x2 = x1 – a. Во втором случае сделаем замену y1 = x2, y2 = x1. Поэтому достаточно рассмотреть случай a ≥ 0, b ≥ 0.
Если данная система имеет положительное решение, то
1 = x1 + x2 + x3 + x4 = 2x2 + 2x4 + a + b > a + b.
Наоборот, если a + b < 1, то, положив x2 = x4 = ¼ (1 – a – b), x1 = x2 + a, x3 = x4 + b, получим положительное решение данной системы.
