ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78019
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Обратный ход ]
[ Последовательности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Если дан ряд из 15 чисел

a1, a2,..., a15, (1)

то можно написать второй ряд

b1, b2,..., b15, (2)

где bi(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших ai. Существует ли ряд чисел ai, если дан ряд чисел bi:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?


Решение

Ответ: нет, не существует. Предположим, что требуемый ряд чисел ai существует. При перестановке чисел ai числа bi переставляются точно так же. Кроме того, если числа ai расположены в порядке возрастания, то числа bi тоже расположены в порядке возрастания. Пусть $ \alpha_{1}^{}$, ..., $ \alpha_{15}^{}$ — это числа a1, ..., a15, расположенные в порядке возрастания, а $ \beta_{1}^{}$, ..., $ \beta_{15}^{}$ -- числа b1, ..., b15, расположенные в порядке возрастания, т.е. $ \beta_{1}^{}$, ..., $ \beta_{15}^{}$ — это последовательность

0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 13.

Из того, что $ \beta_{1}^{}$ = 0, $ \beta_{2}^{}$ = 1, $ \beta_{3}^{}$ = 2, $ \beta_{4}^{}$ = 3, $ \beta_{5}^{}$ = 4, $ \beta_{6}^{}$ = 5 и $ \beta_{7}^{}$ = 5, следует, что $ \alpha_{1}^{}$ < $ \alpha_{2}^{}$ < $ \alpha_{3}^{}$ < $ \alpha_{4}^{}$ < $ \alpha_{5}^{}$ < $ \alpha_{6}^{}$ = $ \alpha_{7}^{}$. В таком случае если $ \alpha_{7}^{}$ = $ \alpha_{8}^{}$, то $ \beta_{8}^{}$ = 5, а если $ \alpha_{7}^{}$ < $ \alpha_{8}^{}$, то $ \beta_{8}^{}$ = 7. А у нас $ \beta_{8}^{}$ = 6. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .