Задача 78006

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дан треугольник ABC. Пусть A₁, B₁, C₁ — точки пересечения прямых AS, BS, CS соответственно со сторонами BC, CA, AB треугольника, где S — произвольная внутренняя точка треугольника ABC. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников AB₁SC₁, C₁SA₁B, A₁SB₁C углы при вершинах C₁, B₁, или C₁, A₁, или A₁, B₁ &8212; одновременно оба неострые.

Решение

Предположим, что в каждом из полученных четырёхугольников AB₁SC₁, C₁SA₁B, A₁SB₁C по крайней мере один из углов при каждой паре вершин C₁ и B₁, C₁ и A₁, A₁ и B₁ острый. Пусть, например, в четырёхугольнике AB₁SC₁ угол при вершине C₁ острый. Тогда в четырёхугольнике C₁SA₁B угол при вершине C₁ тупой, поэтому угол при вершине A₁ должен быть острым. Тогда в четырёхугольнике A₁SB₁C угол при вершине A₁ тупой, поэтому угол при вершине B₁ должен быть острым. Пусть A₂, B₂, C₂ — основания высот опущенных из вершин A, B, C на стороны треугольника. Тогда точка C₁ должна лежать на отрезке BC₂, точка A₁ — на отрезке CA₂, точка B₁ — на отрезке AB₂. Но в таком случае отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ не могут пересекаться в одной точке, поскольку отрезки AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (точке пересечения высот). Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4