ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77997
Темы:    [ Ребусы ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:

  × × × ×  ×  
  × ×      ×××  
      × ×    
      × ×    
             

а деление этого же числа на другое однозначное производится по такой схеме:

  × × × ×  ×  
    ×      ×××  
    × ×      
      ×      
      × ×    
      × ×    
             


Решение

Ответ: 1014 (при делении на 2 и на 3), 1035 (при делении на 5 и на 9) или 1512 (при делении на 3 и на 7). Вторая схема деления может быть только такой:

  1 × × ×  ×  
    ×      ×××  
    1 ×      
      ×      
      × ×    
      × ×    
             

Если данное число равно $ \overline{1abc}$, то согласно второй схеме деления 10 + a - x = 1. Число x не превосходит 9 и является произведением двух натуральных чисел, меньших 10. Кроме того, согласно первой схеме деления число 10 + a является произведением двух натуральных чисел, отличных от 1. Для a остаются три возможности: a = 0, 5 или 6. В первой схеме производится деление, соответственно, на 2 или 5, на 3 или 5, на 4. Во второй — на 3 или 9, 2 или 7, 3 или 5. Далее, 10b + c делится на число, на которое производится деление в первой схеме. Перебирая возникающие в результате варианты, находим подходящие четырёхзначные числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 17
Год 1954
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .